Fizikte ve matematikte bazı sabit sayılar vardır. Hatta bu sabit sayılar aşkın ya da transandantal sayılar olarak isimlendirilmektedir. π, e ve φ gibi sayılar genellikle bilim ve matematikte umulmadık yerlerde karşımıza çıkabilmektedir. Pascal üçgeni ve Fibonacci dizisi de doğada açıklanamayacak kadar yaygındır. Bunlara ilaveten 19.yy dan beri matematikçilerin kafasını karıştıran, aldatıcı derecede basit bir fonksiyon olan Riemann zeta fonksiyonu da sayabiliriz. En ünlü ikilem olan Riemann hipotezi, Clay Mathematics Institute’un doğru bir kanıtı için 1 milyon dolarlık ödül vermesiyle, matematikteki belki de çözülmemiş en büyük sorudur. Yazımız başlıkta da belirtiğimiz üzere yani “1 Milyon Dolarlık Matematiksel Bilmece”.
UC Santa Barbara fizikçisi Grant Remmen, zeta fonksiyonunun tuhaflıklarını keşfetmek için yeni bir yaklaşımı olduğuna inanıyor ve bu konu da bazı çalışmalarda bulundu. Fonksiyonun önemli özelliklerinin çoğunu kuantum alan teorisine çeviren bir analog buldu.
Bu, araştırmacıların artık esrarengiz ve garip bir şekilde her yerde bulunan zeta fonksiyonunu araştırmak için bu fizik alanındaki araçlardan yararlanabilecekleri anlamına geliyor. Çalışması, Riemann hipotezinin bir kanıtına bile yol açabilme ihtimalini barındırıyor.
Remmen yaklaşımını Physical Review Letters dergisinde ortaya koyuyor. Yapmış olduğu çalışma ile ismi arasında enteresan bir benzerlikte bulunuyor. Araştırmacı Remmen, “Riemann zeta işlevi, her yerde sayı teorisinde ortaya çıkan ünlü ve gizemli matematiksel işlevdir” dedi. “150 yıldan fazla bir süredir araştırılıyor” açıklamasında bulunuyor.
Remmen UC Santa Barbara’da temel fizik görevlisi olarak normalde dikkatini parçacık fiziği, kuantum yerçekimi, sicim teorisi ve kara delikler gibi konulara ayırıyor. “Modern yüksek enerji teorisinde, hem en büyük ölçeklerin fiziği hem de en küçük ölçeklerin fiziği en derin gizemleri barındırıyor” dedi.
Çoğu insan kuantum mekaniğini (atom altı parçacıklar, belirsizlik, vb.) ve özel göreliliği (zaman genişlemesi, E = m.c2 vb.) duymuştur.
“Fakat kuantum alan teorisi ile fizikçiler, özel görelilik ve kuantum mekaniğini, ışık hızında veya yakınında hareket eden parçacıkların nasıl davrandığını ve konuları birbirleri ile nasıl ilişkilendireceklerini anladılar” diye açıkladı.
Kuantum alan teorisi tam olarak tek bir teori değildir. Daha çok, bilim adamlarının herhangi bir parçacık etkileşimi setini tanımlamak için kullanabilecekleri bir araçlar koleksiyonuna benziyor.
Remmen, buradaki kavramlardan birinin, Riemann zeta fonksiyonuyla birçok özelliği paylaştığını fark etti. Buna saçılma genliği denir .
Parçacıkların birbirleriyle etkileşime girmelerinin kuantum mekaniksel olasılığını kodlar. Bu konu onun ilgisini çekti.
Saçılma genlikleri genellikle karmaşık sayılar ile ifade edilir. Bu sayılar bir reel kısımdan ve bir sanal kısımdan oluşur – matematikçilerin i dediği √-1’in katı. Saçılma genlikleri, karmaşık düzlemde güzel özelliklere sahiptir. Birincisi, hepsi bir çizgi boyunca uzanan belirli bir kutup kümesi dışında her noktanın etrafında analitiktirler (bir dizi olarak ifade edilebilirler).
Remmen, “Bu, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları üzerinden giderek bir benzerlik bulunduğunu düşünmüş.
Bu belirgin benzerliğin gerçek olup olmadığını nasıl belirleyebileceğimi düşündüm.”
Saçılma genliği kutupları, momentumlu bir parçacık oluşturan fiziksel bir olayın gerçekleştiği parçacık üretimine karşılık gelir.
Her kutbun değeri, oluşturulan parçacığın kütlesine karşılık gelir. Dolayısıyla, saçılma genliği gibi davranan ve kutupları zeta fonksiyonunun önemsiz sıfırlarına karşılık gelen bir fonksiyon bulma meselesiydi. Sonuçlarını kontrol etmek için kalem, kağıt ve bir bilgisayar ile Remmen, ilgili tüm özelliklere sahip bir fonksiyon tasarlamaya başladı. “Birkaç yıldır Riemann zeta fonksiyonunu genliklere bağlama fikri aklımdaydı,” dedi. “Böyle bir işlevi bulmaya başladığımda, onu inşa etmek yaklaşık bir haftamı aldı ve özelliklerini tam olarak keşfetmek ve makaleyi yazmak birkaç ayımı aldı.”
Şaşırtıcı Derecede Basit İndirgenmiş Bir Çözüm Olabilir
Özünde, zeta işlevi harmonik seriyi genelleştirir.
Bu seri, x ≤ 1 olduğunda sonsuza kadar patlar, ancak her x > 1 için gerçek bir sayıya yakınsar.
1859’da Bernhard Riemann, x karmaşık bir sayı olduğunda ne olacağını düşünmeye karar verdi.
Riemann ayrıca, zeta fonksiyonunu iki parçada tanımlayarak gerçek bileşenin 1’den büyük olmadığı sayılara genişletmeye karar verdi.
Karmaşık analizdeki bir teorem sayesinde, matematikçiler bu yeni alan için orijinal fonksiyonun özelliklerini sorunsuz bir şekilde koruyan tek bir formülasyon olduğunu biliyorlar. Ne yazık ki, hiç kimse onu, bu işlevi çevreleyen gizemin bir parçası olan, sonlu sayıda terim içeren bir biçimde temsil edemedi.
İşlevin basitliği göz önüne alındığında, bazı güzel özelliklere sahip olması gerekir. Zeta işlevi belirli biçimlerde yazıldığında, bu açık veya matematikçilerin dediği gibi “önemsiz” olsa da, tüm negatif çift sayılar sıfıra eşlenir. Matematikçilerin kafasını karıştıran şey, diğer tüm önemsiz sıfırların bir çizgi boyunca uzanıyormuş gibi görünmesidir: Her birinin gerçek bir ½ bileşeni vardır.
Riemann, bu örüntünün tüm bu önemsiz sıfırlar için geçerli olduğunu varsaydı ve eğilim, bunların ilk birkaç trilyonu için doğrulandı. Bununla birlikte, trilyonlarca örnek için işe yarayan ve sonra çok büyük sayılarda başarısız olan varsayımlar var. Yani matematikçiler, kanıtlanana kadar hipotezin doğru olduğundan emin olamazlar.
Ama eğer doğruysa, Riemann hipotezinin geniş kapsamlı çıkarımları vardır. Remmen, “Çeşitli nedenlerle matematikteki temel sorularda her yerde ortaya çıkıyor” dedi. Hesaplama teorisi, soyut cebir ve sayı teorisi gibi farklı alanlardaki varsayımlar, hipotezin doğru kalmasına dayanır. Örneğin, bunun kanıtlanması, asal sayıların dağılımının doğru bir hesabını sağlayacaktır.
Fiziksel Bir Analog
Remmen’in bulduğu saçılma genliği, her seferinde bir tane olmak üzere sonsuz bir kütleli parçacık setini değiştirerek etkileşime giren kütlesiz iki parçacığı tanımlar. Fonksiyonun her ara parçacığın kütlesine karşılık gelen bir kutbu -bir seri olarak ifade edilemediği bir nokta vardır. Birlikte, sonsuz kutuplar, Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırları ile aynı hizaya gelir.
Remmen’in inşa ettiği şey, etkileşimin önde gelen bileşenidir. Her biri etkileşimin daha küçük ve daha küçük yönlerini hesaba katan ve aynı anda birden fazla büyük parçacığın değişimini içeren süreçleri tanımlayan sonsuz sayıda var. Bu “döngü düzeyindeki genlikler” gelecekteki çalışmaların konusu olacaktır.
Riemann hipotezi, zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırlarının hepsinin ½’nin gerçek bir bileşenine sahip olduğunu varsayar. Bunu Remmen’in modeline çevirelim: Genliğin tüm kutupları gerçek sayılardır. Bu, eğer birisi fonksiyonunun tutarlı bir kuantum alan teorisini – yani kütlelerin hayali değil, gerçek sayılar olduğu bir teoriyi – tanımladığını ispatlayabilirse, o zaman Riemann hipotezi kanıtlanacaktır.
Bu formülasyon, Riemann hipotezini matematikçilere sunacak güçlü araçlara sahip başka bir bilim ve matematik alanına getirir. Remmen, “Yalnızca Riemann hipotezi ile bu ilişki değil, aynı zamanda saçılma genliğinde fiziksel bir şeye karşılık gelen Riemann zeta fonksiyonunun diğer özelliklerinin bir listesi var” dedi. Örneğin, fizik yöntemlerini kullanarak zeta işleviyle ilgili sezgisel olmayan matematiksel kimlikleri zaten keşfetmiştir.
Remmen’in çalışması, matematiksel ikilemlere ışık tutmak için fiziğe bakan araştırmacıların geleneğini takip ediyor. Örneğin fizikçi Gabriele Veneziano 1968’de benzer bir soru sormuştu: Euler beta fonksiyonunun bir saçılma genliği olarak yorumlanıp yorumlanamayacağı. “Gerçekten de olabilir,” dedi Remmen, “ve Veneziano’nun oluşturduğu genlik, ilk sicim teorisi genliklerinden biriydi.”
Remmen, zeta işlevi hakkında daha fazla bilgi edinmek için bu genlikten yararlanmayı umuyor. “Bütün bu analogların olması, burada bir şeyler olduğu anlamına geliyor” dedi.
Sözümüzü toparlarsak her gün yeni bir değişikliği sizlerle bulşturmaktan vaz geçmeyeceğimizdir.
Kaynak: physorg
