Bernoulli Ailesinin Bilim Dünyasına Kazandırdıkları 8 adet temel teoremlerden ve eşitliklerden sizlere son 4’ünü kronolojik sıralaması olmadan bu yazımızda aktaracağız.
Vereceğimiz 4 bilgiyi sizlere maddeler halinde sıralayalım.
- Bernoulli Süreci
- Bernoulli Denemesi
- Bernoulli Yasası
- Bernoulli Üçgeni
Bernoulli Süreci Nedir?
Olasılık ve istatistikte, bir Bernoulli süreci (adını Jacob Bernoulli’den almıştır), ikili rasgele değişkenlerin sonlu veya sonsuz bir dizisidir, bu nedenle kanonik olarak 0 ve 1 olmak üzere yalnızca iki değer alan ayrık zamanlı bir stokastik süreçtir.
Özdeş olarak dağılmış ve bağımsızdır. Genel olarak, bir Bernoulli süreci, hileli bir madeni parayla tekrarlanan bir madeni para çevirme işlemidir.
Dizideki her Xİ değişkeni, bir Bernoulli denemesi veya deneyi ile ilişkilidir. Hepsi aynı Bernoulli dağılımına sahiptir. Bernoulli süreci hakkında söylenebileceklerin çoğu aynı zamanda ikiden fazla sonuca genellenebilir (örneğin altı taraflı bir kalıp süreci gibi); bu genelleme Bernoulli şeması olarak bilinir.
Sadece sınırlı bir Bernoulli denemesi örneği verilen süreci belirleme sorunu, bir madeni paranın adil olup olmadığını kontrol etme sorunu olarak adlandırılabilir.
Bernoulli Denemesi Nedir?
Olasılık ve istatistik teorisinde, bir Bernoulli denemesi (veya binom denemesi), tam olarak iki olası sonucu olan, “başarılı” ve “başarısız” olan ve deney her yapıldığında başarı olasılığının aynı olduğu rastgele bir deneydir. Adını 17. yüzyıl İsviçreli matematikçisi Jacob Bernoulli’nin Ars Conjectandi’sinde (1713) analiz etmesinden almıştır.
Bernoulli denemesinin matematiksel formalizasyonu Bernoulli süreci olarak bilinir.
Bir Bernoulli davasının sadece iki olası sonucu olduğu için, bir “evet ya da hayır” sorusu olarak çerçevelenebilir. Örneğin:
Karıştırılmış bir destenin en üst kartı bir as mı?
Yeni doğan çocuk kız mıydı? (Bkz. insan cinsiyet oranı.)
Bu nedenle, başarı ve başarısızlık yalnızca iki sonucun etiketleridir ve kelimenin tam anlamıyla yorumlanmamalıdır. Bu anlamda “başarı” terimi, herhangi bir ahlaki yargıda değil, belirli koşulları karşılayan sonuçtan oluşur. Daha genel olarak, herhangi bir olay (sonuçlar kümesi) için herhangi bir olasılık alanı verildiğinde, olayın oluşup oluşmadığına (olay veya tamamlayıcı olay) karşılık gelen bir Bernoulli denemesi tanımlanabilir. Bernoulli denemelerinin örnekleri şunları içerir:
- Bozuk para çevirmek. Bu bağlamda, ön yüz geleneksel olarak başarıyı, ters ise başarısızlığı belirtir. Adil bir madeni para, tanım gereği 0,5 başarı olasılığına sahiptir. Bu durumda tam olarak iki olası sonuç vardır.
- Altının “başarı” ve diğer her şeyin “başarısızlık” olduğu bir zar atmak. Bu durumda altı olası sonuç vardır ve olay altıdır; tamamlayıcı olay “altı değil” diğer beş olası sonuca karşılık gelir.
- Bir siyasi kamuoyu yoklaması yürütürken, yaklaşan bir referandumda seçmenin “evet” oyu verip vermeyeceğini belirlemek için rastgele bir seçmen seçmek.
Bernoulli Yasası Nedir?
Akışkan dinamiğinde, Bernoulli ilkesi, bir akışkanın hızındaki artışın, statik basınçta bir azalma veya akışkanın potansiyel enerjisinde bir azalma ile aynı anda meydana geldiğini belirtir.
İlke, adını 1738’de Hydrodynamica adlı kitabında yayınlayan Daniel Bernoulli’den almıştır. Bernoulli, akış hızı arttığında basıncın azaldığını çıkarsa da, 1752’de Bernoulli denklemini olağan biçiminde türeten Leonhard Euler’di. İlke yalnızca izentropik akışlar için geçerlidir: tersinmez süreçlerin (türbülans gibi) ve adyabatik olmayan süreçlerin (örneğin ısı radyasyonu) etkileri küçük olduğunda ve ihmal edilebilir olduğunda.
Bernoulli ilkesi, çeşitli akışkan akışı türlerine uygulanabilir ve bu da Bernoulli denkleminin çeşitli biçimleriyle sonuçlanır. Bernoulli denkleminin basit biçimi, sıkıştırılamaz akışlar için geçerlidir (örneğin, çoğu sıvı akışı ve düşük Mach sayısında hareket eden gazlar). Daha yüksek Mach sayılarında sıkıştırılabilir akışlara daha gelişmiş formlar uygulanabilir.
Bernoulli ilkesi, enerjinin korunumu ilkesinden türetilebilir. Bu, sabit bir akışta, bir akış çizgisi boyunca bir akışkandaki tüm enerji biçimlerinin toplamının, o akış çizgisi üzerindeki tüm noktalarda aynı olduğunu belirtir. Bu, kinetik enerji, potansiyel enerji ve iç enerji toplamının sabit kalmasını gerektirir.
Böylece sıvının hızındaki bir artış – kinetik enerjisinde (dinamik basınç) bir artış anlamına gelir.
Aynı anda bir azalma ile gerçekleşir (potansiyel enerjisi (statik basınç dahil) ve iç enerjisi (toplamında)).
Akışkan bir rezervuardan dışarı akıyorsa, tüm akış çizgilerinde tüm enerji biçimlerinin toplamı aynıdır. Çünkü bir rezervuarda birim hacim başına enerji (basınç ve yerçekimi potansiyelinin toplamı ρ g h) her yerde aynıdır.
Bernoulli ilkesi, doğrudan Isaac Newton’un İkinci Hareket Yasasından da türetilebilir. Yüksek basınç bölgesinden düşük basınç bölgesine yatay olarak küçük bir hacimde sıvı akıyorsa, arkada önden daha fazla basınç vardır. Bu, hacim üzerinde net bir kuvvet vererek onu akış çizgisi boyunca hızlandırır.
Akışkan partiküller sadece basınca ve kendi ağırlıklarına tabidir. Bir akışkan yatay olarak ve bir akım çizgisinin bir bölümü boyunca akıyorsa, hızın arttığı yerde bunun nedeni, o bölümdeki akışkanın daha yüksek basınç bölgesinden daha düşük basınç bölgesine hareket etmesi olabilir; ve hızı düşerse, bunun nedeni düşük basınç bölgesinden daha yüksek basınç bölgesine hareket etmesi olabilir. Sonuç olarak, yatay olarak akan bir akışkan içinde en yüksek hız, basıncın en düşük olduğu yerde, en düşük hız ise basıncın en yüksek olduğu yerde meydana gelir.
Bernoulli Üçgeni Nedir?
Bernoulli üçgeni, binom katsayılarının kısmi toplamlarının bir dizisidir. Negatif olmayan herhangi bir n tamsayısı ve 0 ile n arasında bulunan herhangi bir k tamsayısı için, n satırı ve k sütunundaki bileşen şu şekilde verilir:
Pascal üçgenine benzer şekilde, Bernoulli üçgeninin her bir bileşeni, önceki satırın son sayısının iki katı olan her satırın son sayısı hariç, bir önceki satırın iki bileşeninin toplamıdır.
Pascal üçgeninde ve benzer şekilde oluşturulmuş diğer üçgenlerde olduğu gibi,[2] Bernoulli üçgeninde köşegen yollar boyunca bileşenlerin toplamı Fibonacci sayılarını verir.
Kaynak: Wikipedia
