Matematikçiler Dusa McDuff ve Felix Schlenk on dört yıl önce gizli bir geometrik bahçe keşfettiler, ancak bu bahçe yeni yeni çiçek açmaya başlıyordu. Sıkıştırılabilen, katlanabilen ve bir topun içine yerleştirilebilen özel bir dikdörtgen şekli dikkatlerini çekti. Belirli bir şekil için bir topun ne kadar büyük olması gerektiğini sorguladılar.
Ünlü Fibonacci sayıları, çalışmalarını inceleyen meslektaşları tarafından keşfedildi. Bu sayılar doğada ve yüzyıllar boyunca matematikte tekrar tekrar ortaya çıkmıştır. Örneğin, Yunan sanatında, mimarisinde ve doğasında araştırılmış olan saygıdeğer altın oranla yakından ilişkilidirler.
Cornell Üniversitesi’nde matematikçi olan Tara Holm, Fibonacci sayılarının “matematikçileri her zaman mutlu ettiğini” söyledi. Holm, McDuff ve Schlenk’in çalışmalarında ortaya çıkmalarının “orada bir şeyler olduğunun göstergesi” olduğunu da sözlerine ekledi.
Bu konudaki en iyi dergi olarak kabul edilen Annals of Mathematics, çığır açan bulgusunu 2012 yılında yayınladı. Sonsuz uzunlukta merdiven benzeri yapıların varlığını ortaya koydu. Bu “sonsuz merdivenler” Fibonacci oranına göre boyutları değişen basamaklara sahipti.
Merdivenin basamakları yukarı çıktıkça küçülmüş ve zirvede altın orana ulaşmıştır. Bir topun içine bir form sığdırma meselesi ile altın oran ya da Fibonacci sayıları arasında belirgin bir bağlantı yoktur. McDuff ve Schlenk’in çalışmalarında bu istatistikleri bulmak garipti.
McDuff daha sonra bu yılın başlarında bu gizem için bulmacanın başka bir parçasını buldu. O ve birkaç kişi daha sınırsız sayıda merdivene ek olarak karmaşık fraktal yapılar ortaya çıkardı. Georgia Üniversitesi profesörü Michael Usher’a göre, bulguları “bu tür bir problemde kendiliğinden ortaya çıkmasını beklediğim bir şey değildi.”
Bu çaba, görünüşte birbiriyle bağlantısız bölgelerde belirsiz matematiksel benzerlikleri ortaya çıkarmıştır ki bu da önemli bir şeylerin döndüğünün kesin bir göstergesidir.
Nesnelerin şekillerini koruduğu Öklid geometrisinin tanıdık dünyası bu konular için uygun bir ortam değildir. Bunun yerine, şekillerin fiziksel sistemler yerine geçtiği kendine özgü semplektik geometri yasalarını takip ederler. Örnek olarak basit bir sarkacı ele alalım. Sarkacın konumu ve hızı, herhangi bir zamandaki fiziksel durumunu belirler. Sarkacın konumu ve hızı için olası tüm değerler çizilirse, sonsuz uzunluktaki bir silindirin yüzeyi simplektik bir şekil olarak görünür.
Karmaşıklık simplektik geometri ile artar. Elipsoidin “eksantrikliği” -ne kadar uzun olduğunun bir ölçüsü- bu durumda çözümü belirler. Bir yılanın kıvrılması gibi, yüksek eksantrikliğe sahip uzun, ince bir şekil kolayca daha küçük bir şekle katlanabilir. Eksantriklik düşük olduğunda işler daha az basittir.
McDuff ve Schlenk 2012 yılında yaptıkları çalışmada, birkaç elipsoide uyabilecek en küçük topun yarıçapını hesapladılar. Yaklaşımları, bir sonraki sayının her zaman kendisinden önceki iki sayının toplamı olduğu bir dizi tam sayı olan Fibonacci sayılarına dayanıyordu.
Matematikçiler merak ediyordu: McDuff ve Schlenk bulgularını açıkladığında, elipsoidinizi bir küreden başka bir şeye, örneğin dört boyutlu bir küpe gömmeye çalışsaydınız ne olurdu? Sonsuza kadar devam eden yeni merdivenler ortaya çıkar mıydı?
Fraktal Yapılar Ortaya Çıktı
Araştırmacılar burada ve orada birkaç tane daha sonsuz merdiven buldukça sonuçlar ortaya çıkmaya başladı. Elipsoidleri sonsuz sayıda varyasyon alabilen bir şekil türüne dahil etmek için yola çıktılar ve sonunda sonsuz sayıda merdiven oluşturmalarını sağladılar.
Grubun incelediği simplektik formlar, hareket eden nesnelerden oluşan bir sisteme işaret etmektedir, bu nedenle şekilleri resmederken bunu aklınızda bulundurun. Bir öğenin fiziksel durumu konum ve hız olmak üzere iki nicelik kullandığından, simplektik şekiller her zaman çift sayıda değişkenle tanımlanır. Çift sayıda boyuta sahiptirler. Dört veya daha fazla boyuttaki şekiller matematikçiler için en büyüleyici olanlardır çünkü iki boyutlu bir şekil yalnızca sabit bir yol boyunca hareket eden bir nesneyi temsil eder.
Bununla birlikte, dört boyutlu şekilleri görselleştirmek zordur ve bu da matematikçilerin araç setini ciddi şekilde kısıtlar. Bazen, geçici bir çözüm olarak, araştırmacılar şekli en azından kısmen temsil eden iki boyutlu görüntüler oluşturabilirler. Dört boyutlu bir top, bu iki boyutlu görüntüleri çizmek için kullanılan yönergelere göre bir dik üçgene dönüştürülür.
Holm ve Pires’in ekibi tarafından incelenen şekiller Hirzebruch yüzeyleri olarak bilinmektedir. Her bir Hirzebruch yüzeyini oluşturmak için bu dik üçgenin üst köşesi çıkarılır. B, azalttığınız miktarı temsil eden bir sayıdır. B 0 olduğunda hiçbir şey kesilmemiştir; 1 olduğunda ise üçgenin neredeyse tamamı çıkarılmıştır.
Grubun çabalarının ilk başta başarılı olması pek mümkün görünmüyordu. Şu anda Cornell’de doktora sonrası araştırmacı olarak çalışan Weiler, bir hafta boyunca bu konu üzerinde çalışmalarına rağmen hiçbir şey keşfedemediklerini iddia etti. 2020’nin başında hâlâ fazla ilerleme kaydedememişlerdi. Holm’un makalenin başlığı için önerdiği “Merdivenleri Bulmada Şans Yok” ifadesini McDuff hatırlıyor.
Kaynak: quantamagazine – Leila Sloman
