Geometri genç öğrencilere dünyanın her yerinde öğretilmektedir. Pisagor prensibi, hacim ve yüzey alanı ilişkileri , π(pi) sayısı da. Genellikle Öklid geometrisi olarak bilinen bu geleneksel geometri, insanların inşa ettiği dünya için ideal olandır. Ancak bu yasaların çoğu, doğada bulunan ve kurnaz insan imalatının kapsamının ötesine geçen yapılar dikkate alındığında ortadan kalkar. Sıradağlar simetrik koniler değildir, bulutlar mükemmel küreler değildir ve şimşek dümdüz ilerlemez. Doğa pürüzlüdür, ancak yakın zamana kadar bu pürüzlülüğü ölçmek zordu. Fraktal geometrinin keşfi sayesinde doğadaki pürüzlü düzensizliklerin incelenmesi artık niceliksel olarak yapılabilmektedir.
Mandelbrot ve Fraktal Geometri
Benoit Mandelbrot 1961 yılında Yorktown Heights, New York merkezli Thomas J. Watson Araştırma Merkezi’nde araştırmacı bir bilim adamıydı. Mandelbrot tam da IBM’in işe almakla ünlendiği türden başına buyruk bir entelektüeldi; henüz mesleki konumunu belirleyememiş parlak bir genç profesördü. Görev basitti: IBM bilgisayar verilerini telefon hatları üzerinden gönderiyordu, ancak bir tür beyaz gürültü bilgi akışına müdahale ediyor ve sinyali bozuyordu. IBM konuya yeni bir bakış açısı getirmesi için Mandelbrot’a başvurdu.
Mandelbrot küçüklüğünden beri hep görsel düşünmüştü, bu nedenle geleneksel analitik yöntemleri kullanmak yerine, beyaz gürültüyü ürettiği biçimler açısından doğuştan inceledi – IBM’in şu anda ünlü olan veri görselleştirme araçlarının erken bir versiyonu. Türbülansın basit bir görselleştirmesi garip bir özelliği hızla ortaya çıkardı. Bozulma modeli, grafiğin ölçeği ne olursa olsun, ister bir gün, ister bir saat, isterse bir saniye boyunca verileri temsil etsin, beklenmedik bir şekilde tutarlıydı. Ortada daha büyük bir sistem vardı.
Mandelbrot konunun farkındaydı ve matematikçi amcası Szolem Mandelbrojt’un yıllar önce Fransa’da kendisine verdiği tavsiyeyi hatırladı: Fransız matematikçiler Pierre Fatou ve Gaston Julia tarafından geliştirilen ezoterik iterasyon teorilerini anlamaya çalış. Çalışmaları dünyanın dört bir yanındaki matematikçileri büyülüyordu ve en basit denklemlere dayanıyordu:
z = z² + c. Bu denklem, x ekseninin karmaşık bir sayının gerçek kısmını ve y ekseninin karmaşık bir sayının hayali kısmını (i) temsil ettiği karmaşık düzlemdeki değerleri aktarır. Parametreleri olarak z ve c değişkenlerini kullanır.
Mandelbrot, tavsiyenin verildiği dönemde herhangi bir ilerleme kaydedememişti, ancak IBM’de keşfettiği entelektüel özgürlük, kendisini tamamen bu yeni çabaya adamasını sağladı. Denklemi yinelemek ya da denklemin ilk çıktısını bir sonraki girdi olarak kullanmak için Mandelbrot 1980 yılında IBM’in teknoloji ve uzmanlığından yararlanarak güçlü bilgisayarlara ihtiyaç duydu. Bu bilgisayarların yardımıyla Mandelbrot, sonuçları grafiklendirirken sayıları bir milyon kez çarptı ve değiştirdi.
En hafif tabiriyle kafa karıştırıcıydı ve oluşum garip şekilli bir böceğe benziyordu. Ancak Mandelbrot dikkatini yoğunlaştırdığında, bu düzenlemenin karmaşık sınırlarının, daha büyük, böcek benzeri oluşumun tekrarlanan, daha küçük kopyalarını içerdiğini gördü. Ayrıca, her küçük versiyon bir öncekinden daha karmaşık detaylara sahipti. Tam olarak aynı olmasalar da, bu yapıların genel hatları birbirine çok benziyordu; farklı olan ayrıntılardı. Denklemi çözen bilgisayarın gücü, bu ayrıntıların özgünlüğünü sınırlayan tek faktördü ve benzer özelliklere sahip yapıların sonsuza kadar devam edebileceği ve giderek artan ayrıntı seviyelerini ortaya çıkarabileceği ortaya çıktı.
Bilim dünyası tarafından daha önce hiç tanınmamış bir geometri türü olmasına rağmen, bu pürüzlülüğün kesin normları ve boyutları vardı.
Mandelbrot bir şeylerin peşinde olduğunu hemen fark etti. Bu şeklin özelliklerinin açık bir şekilde organik yapılara sahip olduğu sonucuna vardıktan sonra bulgularını hemen kamuoyuna duyurdu. “Fraktal” bir öğe, son derece karmaşık ve güzel olan bir öğedir. Mandelbrot 1975 yılında bu yinelenen ya da kendine benzeyen matematiksel desenleri tanımlamak için “fraktal” terimini icat etmiştir. Bu şekil ve yapı Mandelbrot kümesi olarak bilinir hale gelmiştir. 1982’de yayınladığı Doğanın Fraktal Geometrisi, Mandelbrot’u nihayet kamuoyunun dikkatine sunan ve ona büyük bir kabul kazandıran çalışma oldu. Mandelbrot bu kitabında doğadaki sayısız fraktal örneğe vurgu yaptı. En basit örnek olarak bir ağacı kullandı.
Bir ağaçtaki her bir parçanın -gövdeden dala ve diğerlerine kadar- dikkat çekici bir şekilde benzer olduğunu, ancak ağacın bütününün iç işleyişine dair artan ayrıntı, karmaşıklık ve içgörü sağlayan ince farklılıklar içerdiğini belirtti. Akademik köklerine sadık kalan Mandelbrot, bu doğal örnekleri tanımlamanın ötesine geçti ve yeni icat ettiği “fraktal geometri “nin dayandığı sağlam matematiksel teorileri ve ilkeleri sundu.
Küçük farklılıklara sahip olsa da, bir ağaçtaki her bir bölünmenin -gövdeden dala, daldan gövdeye- çok benzer olduğunu ve ağacın bir bütün olarak iç işleyişi hakkında daha fazla bilgi verdiğini gözlemledi. Mandelbrot, bilimsel kimliğine sadık kalarak, doğadaki bu örneklere dikkat çekmenin ötesine geçerek, yeni icat ettiği “fraktal geometri “nin temelini oluşturan sağlam matematiksel fikirleri ve ilkeleri özetledi.
Gelişen şey, yapay dünyanın tüm Öklid kurallarını ihlal eden ve doğal dünya niteliklerine öncelik veren bir evren geometrisiydi. Mandelbrot, fraktal geometri ilkelerinin doğal bir yapının kurucu unsurlarını anlamak ve gelecekte neye dönüşeceğini tahmin etmek için kullanılabileceğini ileri sürdü. O zamandan bu yana, doğal ve insani dünyalar arasındaki ilişkilerle ilgili pek çok şaşırtıcı keşif yapıldı ve bunların daha önce inanıldığı kadar farklı olmadıkları ortaya kondu. Bunun nedeni, etrafımızdaki dünyaya ve gerçekliği nasıl algıladığımıza dair yeni bakış açımızdır.
Örnek olarak biyolojiyi ele alalım. Vücudumuzun fizyolojik işlevlerinin neredeyse tamamı artık fraktal desenler sergiliyor. Uzun zamandır insan kalbinin düzenli, doğrusal bir şekilde attığı varsayılsa da, son araştırmalar sağlıklı bir kalbin gerçek ritminin aslında belirgin bir şekilde fraktal bir düzende dramatik olarak değiştiğini ortaya koymuştur. Kanın fraktal dağılımı tüm vücutta da görülür. Toronto’daki araştırmacılar, hem sağlıklı hem de hasta böbreklerdeki kan akışının fraktal özelliklerini belirlemek için ultrason görüntülemeden yararlanıyorlar. Kötü huylu hücre formlarının daha önce hiç olmadığı kadar hızlı bir şekilde tespit edilebilmesi için bu kan akışlarının fraktal boyutlarının ölçülmesi umuluyor.
Doktorlar fraktal tekniği kullanırken bu küçük kanser öncesi yapıları görmek için daha net tıbbi görüntülemeye veya daha güçlü ekipmana ihtiyaç duymayacaklar. Erken teşhis mikroskopi yerine matematikten gelecek.
Fraktal geometrinin en son uygulamalarından sadece birkaçı biyoloji ve tıp alanındadır. Mandelbrot kümesi, ürettiği güzel şekiller kadar çeşitli ilerlemelere yol açmıştır. Birçok kablosuz aygıt artık çok çeşitli frekansları alabilen fraktal tabanlı antenler kullanmaktadır. Fraktallar, grafik tasarım ve resim düzenleme yazılımları tarafından muhteşem karmaşıklıkta manzaralar ve gerçeğe yakın özel efektler üretmek için kullanılmaktadır. Dünyanın güvenli bir şekilde emebileceği karbondioksit miktarı da ağaçların fraktal istatistiksel analizi kullanılarak ölçülebilir ve belirlenebilir.
Fraktal geometrinin sunabileceklerinin yüzeyini henüz kazımaya başladık. Hava durumu modellerinin, borsa fiyat dalgalanmalarının ve galaksi kümelerinin fraktal doğası ortaya kondu, ancak bu bilgiyle ne yapacağız? Tavşan deliği bizi bir yere götürecek mi? Mandelbrot kümesi gibi, olasılıklar sınırsızdır.
Benoit Mandelbrot çok yetenekli bir düşünürdü. Mandelbrot, her zaman fraktal geometriyi icat etmesiyle hatırlanacak olsa da, sadece sanat ve matematik arasındaki boşluğu doldurduğu için değil, aynı zamanda bu iki alanın uyumsuz olmadığını gösterdiği için de onurlandırılmalıdır. Meslektaşları, iş arkadaşları ve öğrencileri onun karmaşık problemleri çözmeye yönelik yenilikçi yaklaşımından etkilendi ve IBM artık perspektifin değerine sıkı sıkıya inanıyor. Önyargılarımıza meydan okuyan, bakış açımızı değiştiren ve daha önce gözle görülemeyen bağlantıları ortaya çıkaran veri görselleştirme, Mandelbrot’un Mandelbrot kümesini ilk keşfinden onlarca yıl sonra bile dünyanın en zorlu sorunlarından bazılarına yeni ve beklenmedik içgörüler sunmaya devam ediyor.
Kaynak: ibm.com
