Bernoulli Ailesinin Bilim Dünyasına Kazandırdıkları 8 adet temel teoremlerden ve eşitliklerden sizlere ilk 4’ünü bu yazımızda aktaracağız.
Vereceğimiz 4 bilgiyi sizlere maddeler halinde sıralayalım.
- Bernoulli Diferansiyel Denklemi
- Bernoulli Dağılımı
- Bernoulli Sayısı
- Bernoulli Polinomları
Bernoulli Diferansiyel Denklemi
Matematikte, bir basit diferansiyel denklem, şu şekildeyse
Bernoulli diferansiyel denklemi olarak adlandırılır. Bu denklem doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemidir.
Bu denklemde yapılacak bir yerine koyma metodu ile doğrusal olana indirgenebilen bir denklem ortaya çıkacaktır.
Yeni denklem birinci dereceden bir lineer diferansiyel denklemdir ve açıkça çözülebilir. Bernoulli denklemi, çözülmesi gereken ilk diferansiyel denklemlerden biriydi ve hala açıkça çözülebilen çok az doğrusal olmayan diferansiyel denklemden biridir.
Bu tür diğer çoğu denklemin ya çözümü yoktur ya da çözümleri kapalı biçimde yazılamaz, ancak Bernoulli denklemi bir istisnadır.
Bernoulli Dağılımı
Bernoulli dağılımı rassal bir deneyin sadece iyi- kötü, olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, kusurlu-kusursuz gibi sadece iki sonucu varsa kullanılan bir dağılımdır. Bir deneyin sadece iki sonucu varsa bu deneye Bernoulli deneyi adı verilir.
Bernoulli deneyinde iki sonuç vardır. Deneyin sonuçlarından biri uygun durum olup başarı olarak ifade edilir ve x=1 olarak gösterilir. Diğer hal uygun olmayan durum olup başarısızlık olarak adlandırılır ve x=0 ile gösterilir. Deneyin başarılı sonuçlanma olasılığı p ile gösterildiğinde Bernoulli dağılımı şöyle formüle edilir.
Bernoulli dağılımının tek bir parametresi p başarı olasılığıdır.
Bernoulli Sayısı
Matematikte, Bernoulli sayıları Bn sayı teorisinde sıklıkla meydana gelen bir rasyonel sayılar dizisidir. Bernoulli sayıları, tanjant ve hiperbolik tanjant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında, Faulhaber’in ilk n pozitif tamsayıların m’inci kuvvetlerinin toplamı için formülünde, Euler-Maclaurin formülünde ve Riemann zeta fonksiyonunun belirli değerleri için ifadelerde görülmektedir.
Bernoulli Polinomları
Matematikte, Jacob Bernoulli’nin adını taşıyan Bernoulli polinomları, Bernoulli sayılarını ve binom katsayılarını birleştirir. Fonksiyonların seri açılımı için ve Euler-MacLaurin formülü ile kullanılırlar.
Bu polinomlar, birçok özel fonksiyonun ve özellikle Riemann zeta fonksiyonunun ve Hurwitz zeta fonksiyonunun incelenmesinde ortaya çıkar. Bunlar bir Appell dizisidir (yani, sıradan türev operatörü için bir Sheffer dizisi). Bernoulli polinomları için, x ekseninin birim aralıktaki geçiş sayısı derece ile artmaz. Büyük derece sınırında, uygun şekilde ölçeklendirildiklerinde sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına yaklaşırlar.
Bir üretici fonksiyona dayanan benzer bir polinom seti, Euler polinomları ailesidir.
