Geometrik bir cismin sürekli deformasyonlar altında korunan esneme, burulma, buruşma ve eğilme gibi, yani delik kapatmadan, delik açmadan, yırtılmadan, yapıştırmadan veya kendi içinden geçmeden özellikleri, matematikte topolojinin konusudur. Yunanca o, “yer, konum” ve “çalışma”) sözcüklerinden türetilmiştir.
Bir topolojik uzay, alt uzayların sürekli deformasyonunun ve daha geniş olarak her türlü sürekliliğin tanımlanmasına izin veren topolojik bir yapıya sahip bir kümedir.
Her mesafe veya metrik bir topoloji tanımladığından, Öklid uzayları ve daha geniş olarak metrik uzaylar topolojik uzayların örnekleridir. Homeomorfizmalar ve homotopiler, topolojide dikkate alınan deformasyonlardır.
Bir topolojik nitelik, bu tür deformasyonların varlığında değişmeden kalan bir niteliktir. Topolojik niteliklerin temel örnekleri şunları içerir: bir çizginin bir yüzeyden ayrılmasını sağlayan boyut; bir çizgiyi bir daireden ayıran kompaktlık; ve bir daireyi örtüşmeyen diğer iki daireden ayıran bağlantılılık.
Topoloji ilkeleri, 17. yüzyılda geometria situs ve analiz situsunu öneren Gottfried Leibniz’e kadar uzanır.
Leonhard Euler’in polihedron formülü ve Königsberg’in Yedi Köprüsü problemi muhtemelen bu alandaki ilk teoremlerdir.
Johann Benedict Listing “topoloji” terimini 19. yüzyılda icat etti, ancak topolojik uzay kavramı 20. yüzyılın başlarına kadar tanımlanmadı.
Topolojinin arkasındaki ilham verici fikir, belirli geometrik konuların ilgili nesnelerin kesin geometrisi tarafından daha az ve daha çok düzenlemeleri tarafından belirlendiğidir.
Örneğin, kare ve daire, düzlemi iç ve dış olmak üzere iki bölüme ayırır ve bu nedenle her ikisi de tek boyutlu nesnelerdir (topolojik açıdan).
Leonhard Euler, topolojideki en eski yayınlardan birinde, Königsberg’den (şimdi Kaliningrad) geçen yedi köprünün her birini tam olarak bir kez geçecek bir yol yaratmanın imkansız olduğunu kanıtladı.
Bu sonuç, köprülerin uzunlukları veya aralarındaki mesafelerden ziyade, yalnızca hangi köprülerin hangi adalara veya nehir kıyılarına bağlandığı gibi bağlantı faktörlerine bağlıydı.
Grafik teorisinin matematiksel alanı, Königsberg’in Yedi Köprüsü bulmacasının bir sonucu olarak geliştirildi.
Cebirsel topolojinin tüylü top teoremine göre, tüylü bir topun saçı, bir başlık oluşturmadan düz bir şekilde taranamaz.
Teoremin daha resmi formülasyonuna aşina olmasalar da, çoğu insan bu gerçeği -küre üzerinde kaybolmayan sürekli teğet vektör alanı olmadığı gerçeğini- hemen ikna edici bulur.
Königsberg Köprülerine benzer şekilde, sonuç kürenin şeklinden bağımsızdır ve içinde delik olmadığı sürece herhangi bir pürüzsüz damla için geçerlidir.
Nesnelerin kesin geometrisine bağlı olmayanları çözmek için bu problemlerin tam olarak hangi özelliklere bağlı olduğunu anlamak önemlidir. Homeomorfizm bu arzudan gelişen bir kavramdır.
Tüylü top teoremi, bir küreye homeomorfik olan herhangi bir uzay için geçerlidir ve her köprüyü bir kez geçmenin zorluğu, Königsberg’dekilere benzer herhangi bir köprü düzenlemesi için geçerlidir.
Ref: Wikipedia
